Kissé hosszúra nyúlt sorozatunk befejező részében a geometria tárgyainak eredetével foglalkozunk. Eddigi bejegyzéseink szerint a matematika tárgyai értelmünk olyan formái, amelyek a maguk tisztaságában nem fordulnak elő anyagi világunkban, de anyagi világunk formái vezetnek ezekhez a tiszta, csak értelmi létezéssel bíró formákhoz. A geometria tárgyai esetében ez talán még nyilvánvalóbb, mint az aritmetika vagy a természetes számok esetében. Az anyagi világban találkozunk pontokhoz, egyenesekhez, görbékhez, síkokhoz, felületekhez hasonló formákkal, ezek azonban nem tiszta formák. Amit pontnak vélünk az anyagi világban, kiterjedéssel rendelkezik, ellentétben a geometria pontjával. Az anyagi világ egyeneseinek, görbéinek sokszor van szélessége is, tehát nem egydimenziósak. A geometriai vonalaihoz leginkább hasonlókkal még a testek fizika törvényei szerinti mozgásuk folyamán leírt pályákban találkozunk, de ezek között sem találjuk meg például a tökéletes egyenest, vagy az adott görbét úgy, ahogyan ezt a matematika meghatározza, hiszen a valóságos helyzetekben a fizika törvényei sokszor csak közelítően érvényesülnek.

A geometria tárgyaihoz elvezető matematikai absztrakcióban még egy érdekes dologgal találkozunk. Az anyagi világban kiterjedt és mozgó tárgyakat találunk. A kiterjedés és a mozgás következtében ezek a tárgyak vonatkozásban (relációban) vannak egymással. Egyik tárgy elfoglal egy helyet, amelyet egy másik tárgy nem foglalhat el, egyik tárgy közvetlenül a másik mellett lehet és így határosak egymással, egyik tárgy egy másik tárgyhoz közelebb lehet, mint egy harmadik tárgy stb. Értelmünk felfogja ezeket az anyagi világban valóságosan létező relációkat, amelyekből rendkívül sok van, amelyek átszövik az anyagi világot. Értelmünk ezen relációk sokaságát valamilyen egységbe akarja hozni és így megalkotja a tér fogalmát, amely mintegy tartalmazza a tárgyakat és amelybe, mint egy egységes közegbe, elhelyezhetők ezek a relációk.  Az anyagi valóságban nincs tér, ez csak értelmünkben létezik, de nem önkényes képződmény, hanem az anyagi valóságon alapul: ens rationis cum fundamento in re. A tér fogalma értelmünk alapvető fogalma az anyagi világ hétköznapi felfogásával, megértésével kapcsolatban is. Tulajdonképpen ez a tér az alapja a geometriai tér fogalmának, amelyben elhelyezkednek a geometria különböző tárgyai. Most csak röviden megemlítjük, hogy a térhez hasonlóan az idő sem tekinthető az anyagi világban valóságosan létező dolognak. Ugyanakkor sem a tér, sem az idő nem tekinthetők valamilyen eleve adott, a priori formáknak, mert a tér és idő ugyan értelmünk formája, de ez a forma az anyagi valóságban lévő formákra alapozódik. Az idő alapja a valóságban megtapasztalható változásokban van, amelyek következtében valóságosan megtapasztalható relációt jelentenek az “előtte”, “utána”, “korábban”, később” stb. szavaink. Ezeket a relációkat értelmünk alkotása, az idő fogja egységbe, amely egységnek feltétele az az értelmes létezés, amely számára van múlt, jelen és jövő.

A matematikai absztrakció által képzett formák tehát az anyagi világban lehetőségként vannak jelen, de ez a lehetőség nem az anyagi világ anyagi okok által megvalósítható lehetősége. Ez tulajdonképpen az anyagi világról való ismereteinkben rejlő lehetőség. A mai geometria az általunk megszokott euklideszi terek mellett ezek alternatíváit is, a nem euklideszi tereket is ismeri. Tehát geometriai terekből több is van és éppen a modern fizika és kozmológia veti fel azt a kérdést, hogy az Univerzumra vajon melyik tér alkalmazható. Mint láttuk, a tér fogalma az anyagi világban valóságosan meglévő relációkra épül. Ezekről a relációkról szóló ismereteink érzékszerveink adataiból indulnak ki. Ismereteink abba az irányba vezetnek, hogy az érzékszerveinkkel közvetlenül “befogható” világ euklideszi szerkezetű és ezért a megszokott, évezredek óta használt térszemléletünk euklideszi. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az Univerzumban érvényes geometria feltétlenül euklideszi szerkezetű lenne. Ez csak annyit jelent, hogy érzékszerveink szokásos hatóterületén belül az esetleges nem-euklideszi szerkezet nem észlelhető. (A Föld görbületét sem észleljük mindennapi életünkben.) A 19. század folyamán több matematikus (például Gauss, Bólyai, Lobacsevszkij) felismerte azt, hogy az euklideszi geometria híres párhuzamossági axiómája helyettesíthető más axiómákkal is úgy, hogy így felépíthetők nem eulideszi geometriák is. Lokális tapasztalataink azonban nem utalnak szükségszerűen arra, hogy világmindenségünkre nem az euklideszi geometria alkalmazható. Erről csak a közvetlen tapasztalatainkat jelentősen meghaladó nagyon nagy (vagy nagyon kis) méretek esetében lehet szó.

Amint az előző bejegyzésekben láttuk, a matematikai absztrakció az emberi megismerés igen sajátos területe. Az az absztrakció, amelyben csak a dolgok konkrétságától, az érzékelés tértől és időtől függésétől tekintünk el, olyan formák megismerését eredményezi, amelyek az anyagi világ valóságos formái. Tipikusan ilyen formák a lényegadó formák (formae substantiales), amelyek a magukban létező dolgok (szubsztanciák) formái. Amint arról már több bejegyzésben is szó volt, ezek a formák közvetlenül formálják meg az elsődleges anyagot (materia prima), így biztosítva a magában álló dolog egységét. Ez az egység az anyagi létezéssel szükségszerűen együttjáró összetettség miatt abban is megmutatkozik, hogy például az anyagi világban található legmagasabb egység formájába, az ember formába más formák is beépülnek. Ezek közül egyesek bizonyos tulajdonságok formái. Más formák beépülő részek formái. Ilyenek a szervek, sejtek, molekulák, atomok, elemi részek formái. Ezek a formák nem önálló, lényegi formák, hanem csak beépülő részek formái. A természettudományok vizsgálják a teljesebb formák más formákból való felépülésének módját. Ez a megközelítési irány jogos és az elmúlt évszázadokban nagy sikereket ért el, a technológia, a gyógyítás olyan fejlődését tette lehetővé, amely hatalmas változásokat hozott. Ugyanakkor a teljesebb formák, köztük a lényegadó formák soha sem lesznek teljesen érthetőek a természettudományok “redukciós” kutatásainak eredményeként. A kevésbé fejlett formák fejlettebb formákban való összehangolt működése nemcsak egyik oka, hanem jele is a fejlettebb forma egységének. A természettudomány, elsősorban a fizika egyre kevésbé “fejlett” formák után kutat, ezek tulajdonságainak a felderítésével foglalkozik. Ez a kutatás azonban soha nem jut el egy olyan elemi formához, amelynél már nincs elemibb forma. A matematikai absztrakció viszont eléri azokat a formákat, amelyek a mennyiség minden anyagi létezőben jelenlévő formájára vonatkoznak. Ezek a formák azonban a maguk tisztaságában már nem lehetnek az anyagi valóság formái, ezért a matematika világa egy ideális világ, amelynek gyökerei azonban az anyagi valóságban vannak. Ez a magyarázata annak, hogy az elemibb formákat kutató fizikában olyan sikeres a matematika alkalmazása, hiszen a fizika formáinak tartalmát mindössze néhány, csak mennyiségileg jellemezhető tulajdonság alkotja, ezért ezek jól modellezhetők a matematika ideális világának segítségével. A matematikai tárgyak ontológiai helyzetének vizsgálata így elvezet a fizika tárgyai ontológiai helyzetének vizsgálatához. Régebbi bejegyzések (itt és itt) már foglalkoztak ezzel a témával és terveink szerint ilyen bejegyzések még a jövőben is lesznek.

Az előző bejegyzésben említettük, hogy a természetes számokkal kapcsolatban lehet beszélni valamilyen egységről és különbözőségről. A megszámolt valamik valamiben egyek, ez alapján tekintjük őket a számolásnál valamilyen értelemben összetartozónak. Ugyanakkor különböznek is, mert ha nem különböznének, akkor a számolás az egyes számnál befejeződne. A továbbiakban egy olyan különbségről lesz szó, amely anyagi világunk alapvető jellemzője. Ez a különbség az egyedek különbsége. Ha a megformálatlan anyagról, az elsődleges anyagról (materia prima) beszélünk, akkor ezt formák befogadására való képességként jellemezhetjük. Ez a képesség azonban nem egyetlen forma, hanem több forma befogadásának a képessége. Az is előfordul, hogy ugyanaz a forma többször formálja meg az elsődleges anyagot, ez a helyzet például a kutya-formával vagy az elektron-formával. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha ugyanazon forma általi többszöri megformáltságok valamiben különböznek egymástól. Ez a különbség nem származhat a formától, hiszen ez ugyanaz. Ebből következik, hogy a különbség  az anyagból ered, ezért a tomista álláspont szerint az egyedesedés, az individuáció elve (principium individuationis) az anyag. Az anyag tehát képes a forma által képviselt egységbe valamilyen megkülönböztetést vinni. A konkrét egyedek közötti különbség mindennapi tapasztalatunkban legalapvetőbben abban mutatkozik meg, hogy ezek nem foglalhatják el ugyanabban a pillanatban ugyanazt a helyet. Az anyagnak az a lehetősége, hogy a forma azonosságának az egységébe megkülönböztetést vigyen, valamilyen külön, első formaként nem valósul meg. Itt tehát egy valóságos lehetőségről van szó, amelynek azonban tiszta, más formákat nem feltételező megvalósulása nem létezik a tapasztalható világban. Ennek oka az, hogy tartalom-nélküli különbségről, mint tisztán megvalósuló formáról nem lehet beszélni az anyagi valósággal kapcsolatban. Ugyanakkor a matematika világában lehet beszélni ezen lehetőség (és a rá épülő lehetőségek) tiszta formakénti megvalósulásáról, mert itt már a tartalom nélküli különbség feltételezése is elegendő a matematikai tárgyak létéhez. Így például a halmazelmélet halmazai esetében elegendő annak feltételezése, hogy ezen halmazok elemei különböznek, nincs arra szükség, hogy konkrétan megjelöljük azt, hogy miben áll ez a különbség.

A matematikai ismeretek eredetéről szóló bejegyzések sorozatát ezzel a bejegyzéssel egyelőre befejezzük, anélkül, hogy egy részletesen kidolgozott álláspontot alakítottunk volna ki. Megjegyezzük, hogy bejegyzéseinkben most csak a matematika anyagi világgal legszorosabb kapcsolatban lévő tárgyaival, az aritmetikai és geometriai legalapvetőbb tárgyaival foglalkoztunk. Amint említettük, a megismerés tárgyai lehetnek maguk az ismeretek is (secunda intentio). Ezek alapján a matematika számára újabb, még “absztraktabb” tárgyak keletkezhetnek. Ezekben a bejegyzésekben erről sem volt részletesebben szó. Még azt is megjegyezzük, hogy a bejegyzésekben vázolt megközelítés korántsem mondható minden részletében a tomista iskola egyöntetű álláspontjának. Ilyen, teljes egészében kidolgozott álláspontról még nem beszélhetünk. A témával kapcsolatban megemlíteném Jacques Maritain The Degress of Knowledge című könyvének témával foglalkozó részeit és Armand Maurer cikkét.

Az előző bejegyzésekben eljutottunk ahhoz a megállapításhoz, hogy a matematika tárgyai ugyan eredetüket tekintve szoros kapcsolatban vannak az anyagi világgal, mégis ezek a tárgyak már nem viselik magukon az anyagi világ jegyeit, ezek csak értelmünk formái. Szó volt arról a különbségről, amely az absztrakció első és második fokozata között van. Az első fokozat csak az érzékelés konkrétságától, tértől és időtől való függésétől tekint el, de az elvont, absztrahált formák az anyagi világban valóságosan létező formák. Így a kutyaság, mint lényegadó forma valóságosan megformálja az anyagot, amely megformált anyag ezen forma miatt kutya. A kutya forma azonban, a platonistának nevezett véleménytől eltérően, önmagában, konkrét kutyák nélkül nem létezik, de ott van minden egyes kutyában valóságos metafizikai összetevőként. A matematikai absztrakció folyamán keletkezett formákat azonban tiszta állapotukban nem lehet az anyag valóságos formáinak tekinteni, mégis ezek a formák nem az anyagi valóságtól függetlenül, ettől elszakadva keletkeznek.

A következőkben az aritmetika legalapvetőbb fogalmát, a természetes szám fogalmát elemezzük abból a szempontból, hogy mi ennek az alapja az anyagi valóságban. (Természetes számok a pozitív egész számok, tehát az 1,2,3…) Az egynél nagyobb természetes számokat tartalmazó állításokban megtalálható az egységnek és a különbözőségnek valamilyen mozzanata. “Az öt birka legel a réten” állításban például az egységet az jelenti, hogy a birkák egy konkrét réten éppen legelnek. Ugyanakkor különbözőségről is szó van. Ezt a különbséget fejezi ki például az a tény is, hogy az öt birka a térben a rét különböző helyein legel. Ha nem lenne különbség köztük, akkor csak egyetlen birka legelne. Ez az egység és vele együtt a különbség is az anyagi világ valósága. “A parkolóban öt autó áll” állításban hasonlóan felfedezhető az egység mozzanata: az autók a parkolóban állnak. Ugyanakkor megtalálható a különbség is: az autók különböző parkolóhelyeken állnak, mert csak így lehet több autóról szó. (Meg kell azonban jegyeznünk, hogy az egység és különbözőség állításával nem adjuk fel az ellentmondás elvét, mert az egységet és különbözőséget nem ugyanarról, ugyanabból a szempontból állítjuk.) A két helyzet (öt birka a legelőn, öt autó a parkolóban) között azonban van valamilyen hasonlóság. Ez a hasonlóság lehetőséget ad arra, hogy az autók elmenjenek a legelőre és minden autó hazaszállítson egy birkát. A szállítás folyamán az összes autót használtuk, az autók csak egy birkát szállítottak és minden birka hazakerült. Ha a parkolóban csak négy autó lett volna, akkor egy birka a legelőn maradna. Ha viszont hat autó lett volna a parkolóban, akkor egy autó birka nélkül ment volna el a legelőről. Tehát a két helyzet között van valami hasonlóság, ez a hasonlóság valamilyen lehetőségben vagy lehetőségekben mutatkozik meg. Ezeknek a lehetőségeknek nem kell ténylegesen is megvalósulniok, értelmünk mégis felismeri ezeket, ezekre utal a természetes számokkal, jelen esetben az ötös számmal. Amikor tehát az ötös számot használtuk különböző helyzetekben, akkor ezzel olyan lehetőségekre utaltunk, amelyek valamilyen módon “összehozzák” az öt valamiket, legyenek ezek  birkák, autók, felhőkarcolók stb.

Láttuk tehát, hogy a szám fogalma feltételez valamilyen egységet és különbözőséget. Megjegyezzük, hogy az egységet az is biztosíthatja, hogy mi jelőljük ki  azokat a tárgyakat, amelyeket például megszámolunk. Ez történik például akkor, amikor kiválasztunk két birkát az ötből. Ilyenkor az (új) egység alapja a mi választásunk. A természetes szám fogalmában azonban eltűnik az egység és különbözőség konkrét tartalma, ezért beszélhetünk öt birkáról és öt autóról, függetlenül attól, hogy ezekben az esetekben mi az egység és különbözőség konkrét tartalma. Ezért a természetes szám nemcsak az anyag legalapvetőbb tulajdonságával, a mennyiséggel kapcsolatban használható, hanem beszélhetünk a nem anyagi létezéssel kapcsolatban is számosságról. Így beszélhetünk a hét arkangyalról, akik közül hármat említ a Szentírás (Mihályt, Gábrielt, Ráfaelt). Esetükben a különbözőséget nem az anyagi létezéssel együtt járó kiterjedtség biztosítja, hanem a három angyal lényegi, természeti különbözősége.

Valamilyen, de nem meghatározott egység és különbözőség alapján hozzuk létre a halmaz fogalmát, amelyben az egység abban fejeződik ki, hogy egy halmazról van szó, a különbözőség pedig abban, hogy ennek egymástól különböző elemei vannak. A számosság tulajdonképpen bizonyos halmazok közös tulajdonsága.

A természetes számok ontológiai helyzetével kapcsolatban azonban talán még mindig felvethető az a kérdés, hogy az “ötösségnek” nem felel-e meg valamilyen elkülöníthető, anyagban valóságosan létező forma. A kutyaságnak megfelelő forma metafizikailag elkülöníthető Bodritól, hiszen ha ez nem lenne így, akkor Bodri azonos lenne a kutyasággal, azaz Bodri lenne az egyetlen kutya. Nem lehet-e elkülöníteni az “öt kutya” formától az “öt” formát úgy, hogy az “ötről” is feltételezzük azt, hogy ez anyagban valóságosan létező forma? A válasz nemleges. Az előzőekben láttuk, hogy a természetes szám fogalma úgy tételez fel valamilyen egységet és különbözőséget, hogy ezekhez semmilyen tartalom nem tartozik, azaz az természetes szám szempontjából nincs jelentősége annak, hogy miben áll ez az egység és különbözőség. Ilyen forma azonban csak az értelemben alakulhat ki absztrakció révén, mert az értelmünktől független létezés rendjében nincs egység és különbözőség csak önmagában, tartalom nélkül. Azaz az egység mindig valaminek az egysége, a különbözőség pedig mindig valaminek a különbözősége. Ezért értelmünktől függetlenül nincs például “öt” forma, hanem mindig csak olyan forma, amely tartalmazza azt is, hogy mi az, ami öt.

Összefoglalva tehát megállapíthatjuk, hogy az aritmetika legalapvetőbb tárgyai, a természetes számok értelmünk létezői, ez a létezés azonban nem értelmünk önkényes, valóságtól független tevékenységének az eredménye. Kronecker német matematikus mondása szerint “a természetes számokat Isten alkotta, a többi már emberi alkotás”. Amint láttuk, még a természetes számok is az emberi értelem alkotásai, amelyek azonban nem függetlenek Isten alkotásától, az anyagi világtól. A matematikusokat azonban néha megdöbbenti az a rejtélyesség, titokzatosság, amely például a természetes számok körében is található. A matematikának egy igen régi, de máig számos megoldatlan problémát tartalmazó ága az elsősorban a természetes számokkal foglalkozó számelmélet. A prímeknek nevezett természetes számok az egyen és önmagukon kívül más osztót nem tartalmaznak. Ilyen számok a 2, 3, 5, 7, 11 stb. Sok megválaszolatlan kérdés merült fel a prímekkel kapcsolatban. Így például Eukleidész vetette fel azt a kérdést, hogy van-e végtelen sok ikerprím. Ikerprímnek nevezünk két olyan prímet, amelyek között csak egy (páros) szám található. Ikerprím például a 3 és 5, az 5 és 7, a 11 és 13, az 1997 és 1999. Az Eukleidész által feltett kérdés máig megválaszolatlan. Többek között ez és az ezekhez hasonló problémák hatására gondolja azt több (platonistának nevezett) matematikus, hogy például a prímek embertől függetlenül létező valamik, amelyeknek a tulajdonságait a matematikus csak felfedezi.

Valójában azonban arról van szó, hogy megismerésünk bizonyos irányába haladva egyre általánosabb, de ezzel egyúttal egyre létben szegényebb formákhoz jutunk. Ezek a formák sok más formába beépülhetnek, ezekben az anyagi létezők igen általános építőköveiről van szó. Ilyenek például a mai ismereteink szerinti elemi részecskék: proton, neutron, elektron stb. Értelmünk azonban soha nem tud megállni egyetlen ilyen formánál sem, nem tudja ezeket abszolút végső formáknak tekinteni, hanem még elemibb formákat keres. A létezésben való szegénység miatt ezeket a formákat egyre inkább a mennyiség határozza meg, ezen formák tartalma már csak néhány, mennyiséggel egyértelműen leírható tulajdonság. Ilyen tulajdonságok például az elemi részecskék tömege, a töltése vagy a rejtélyes, perdületnek, spin-nek nevezett tulajdonsága. Azonban ezek a formák sem tekinthetők végső formáknak, az ezekben előforduló mennyiségek is mindig valaminek a mennyiségei. Értelmünk tehát nem képes az anyagban a végső, további formákra már nem utaló formákat megtalálni. Ehelyett viszont képes olyan formákat kialakítani, amelyek tisztán már nem találhatóak meg az anyagban, de valamilyen értelemben ezek tekinthetők azoknak a végső formáknak, amelyekre az anyagban lévő formák utalnak. Ezek a formák azonban már csak az értelemben léteznek. Miért van ez így? Ennek oka az emberi értelemnek az a sajátsága, hogy az anyagvilág megismerésében nem Isten teremtő eszméiből indul ki, hanem az anyagi természetű érzékelésből. (Erről az előző megjegyzésben volt szó.) Ennek a megismerésnek a korlátozottságát mutatja, hogy ez nem képes az anyagvilág “mélységét” átlátni, hanem ennek a megismerésében egyre elemibb formák soha véget nem érő sorozatán keresztül halad. A matematikai absztrakció azonban valamilyen értelemben meghaladja ezt a fajta megismerést, ez eljut valamilyen értelemben végsőnek tekinthető formákhoz, de ezek már nem az anyag formái. Így nem is annyira meglepő, hogy ezen formák teljes tartalmának megismerésében, felfedezésében az ember a matematikai megismerés már anyagtól elszakadt sok-sok lépésén keresztül folyamatosan halad előre.

A következő, témát záró bejegyzésben a matematika másik ősi ágáról, a geometriáról is lesz szó.

Az előző bejegyzésben láttuk, hogy az emberi megismerés jellegzetes művelete, az absztrakció az anyagi valóságban lévő formák kiemelését jelenti. Az absztrakció első fokozata elvonatkoztat az érzékszervi adatok, az ezek alapján keletkezett képek konkrétságától, adott helytől és időtől való függésétől, de nem tekint el attól, hogy ezek a formák anyagban lévő formák. Ennek az absztrakciónak egyik “teljesítménye” a formák hierarchiájának legfelső fokán lévő lényegadó formák megismerése. Ezek közül a “leglényegibb”, az egységet leginkább megjelenítő forma az ember lényegét megjelenítő forma. Az anyagi világban az ember a leginkább létező, a leginkább egy. Ez az egység azért a legteljesebben megvalósult egység ebben a világban, mert arra épül, hogy az ember lényegadó formája szerint szellem. Ez a lényegadó forma azonban az anyagot formálja meg, ezért ez az egység egyúttal a nagyfokú összetettségre is épül, ez az egység sok elemből álló, bonyolult “gépezet” egysége is. A matematikai absztrakció, jóllehet ugyancsak az anyagi formákból indul ki, mégis eredményként olyan formákhoz jut, amelyek megértéséhez már nem kell feltételeznünk azt, hogy ezek a formák anyagban lévő formák. Amint az előző bejegyzésben láttuk, a mennyiség formái olyan tulajdonságok formái, amelyek minden megformált anyagra jellemzőek az elemi részecskéktől kezdve az emberig. A mennyiség olyan alapvető tulajdonság, amely minden más anyagi tulajdonsághoz nélkülözhetetlen. A mennyiségekkel kapcsolatos formák tisztán, más formák nélkül sehol sem jelennek meg, ugyanakkor a hierarchia alacsonyabb szintjein ezeken kívül, ezekre épülve már kevés egyéb tulajdonsággal találkozunk, de ezekkel a formákkal nem a tiszta matematika, hanem a matematikai fizika, az elméleti fizika foglalkozik. Az előző bejegyzésekben láttuk, hogy az elsődleges anyag (materia prima) érzékszerveinkkel nem ragadható meg. Nincs azonban olyan legalacsonyabb szintű forma, amely alatt már nem lehetnének még alacsonyabb szintű formák ¹. A tisztán csak mennyiséget tartalmazó, semmilyen erre épülő formát fel nem tételező forma így anyagi világukban nem létezik. A mennyiség mindig valaminek a mennyisége. Értelmünk azonban képes, mintegy határesetként, olyan formákat létrehozni, amelyek megfelelnek az anyagi világban valóságosan nem, hanem csak határesetként létező formáknak. Ezek a formák a mennyiségek tiszta formái. Ez a magyarázata annak, hogy a matematikai absztrakció ugyan a valóságból ered, mégis az eredményeként létrejövő matematikai tárgyak már elszakadnak az anyagi világtól, az anyagi világ ilyen tiszta formákat nem tartalmaz. Eredetükben tehát ezek a formák is kapcsolódnak az anyaghoz, de megértésük, vizsgálatuk már minden anyagi vonatkozás nélkül történik.

Még mielőtt a további részletekbe mennénk, a tiszta matematika objektumainak ontológiai helyzetére vonatkozó kérdésekre már általánosságban válaszolhatunk. Van-e ezeknek az objektumoknak értelmünktől független, valós léte? A platonista állásponttal ellentétben a válasz nemleges. Ezek az objektumok csak értelmünk létezői, de eredetükben nem függetlenek az anyagi valóságtól: entia rationis cum fundamento in re. Az ember-forma valóságban létező forma, amely ugyan fizikailag nem választható el a konkrétan létező embertől, mert ez a forma önállóan, konkrét emberektől függetlenül nem létezik, metafizikailag mégis valóságos különbség van ezen forma és az általa megformált anyag vagy ezen forma és a konkrét ember között. A matematikai formákról azonban semmilyen értelmünktől független, valóságos létezés nem állítható. Amikor azonban értelmünk ezeket a formákat létrehozza, halvány visszfényként tükrözi az isteni értelmet, amely a teremtésben azáltal is megmutatkozik, hogy az anyagi világ olyan formákra utal, amelyek tisztán már csak az értelem formái lehetnek. Ebből ered a platonizmus különleges vonzódása a matematika, a matematika világa felé. A platonizmus ezt a világot egy tökéletes, ideális világnak tekinti, amelyben az anyagi világ “részesedik”. A tomista álláspont szerint ez a világ önálló valóságként nem létezik, ez a világ értelmünk világa, amely azonban utal a végtelen isteni értelemre, amely a teremtésben megmutatkozik.

Felmerülhet a kérdés, hogy miért van az, hogy anyagi világunk megértésében értelmünk által létrehozott olyan formákra is szorulunk, amelyek már nem az anyagban létező formák, amelyekhez csak “konvergálnak” az anyagban létező formák. A magyarázat az emberi értelem gyengeségében keresendő. A tomista álláspont szerint minden értelmek leggyengébbike az emberi értelem. A tisztán szellemi megismerésben az anyagi világ nem érzékszervek adatainak a közvetítésével jelenik meg. Az isteni megismerésben a teremtett világ ismerete a teremtés örök eszméinek ismeretét jelenti, ezek azonban nem különböznek Isten önismeretétől.  Az angyali ismeret esetében is a teremtés eszméiről van szó, amelyek az angyal Istenről való ismeretében foglaltatnak. Az tisztán szellemi megismerésben tehát az anyagi világ elválaszthatatlan a teremtéstől. Az anyagi világ végső és teljes értelmét a teremtésből nyeri. Az emberi megismerés kiindulópontja azonban ugyanaz, mint a szellemi öntudattal nem rendelkező állati megismerés kiindulópontja: az érzékelés. A teremtett világ viszont a maga teljességében csak Isten teremtő tette felől érthető meg. Az emberi értelem azonban nem ebből a szempontból nézi a világot. A teremtő tettig csak az elegendő magyarázat, ok elvén keresztül jutunk el, de az így szerzett ismeret is inkább csak ezen tett létére utal és nem hogyanjára, mivoltára. Ezért az anyagi világban élő ember a teremtés szempontjából “kívülről” szemléli a világot. Ez az oka annak, hogy ennek valamilyen megértése felé haladva bizonyos formákat az anyagi világtól elválasztva, csak szellemileg, értelmileg létező formaként felfogva képes értelmezni a világot. Azt jelenti ez, hogy az emberi értelem, önmagától, mindent megelőzően, a priori hozza létre ezeket a formákat? Nem erről van szó, mert az absztrakció alapján az érzékszervi adatokból kiemelt formák alapján alakulnak ki ezek a formák, amelyek a maguk tisztaságában már közvetlenül nem találhatóak meg anyagban létező formaként. Ezek a formák tehát nem “légből kapott” formák.

A matematika tárgyai tehát értelmünk konstrukciói, amelyhez a kiinduló “anyagot” végső soron érzékszerveink szállítják. Azonban ezek a tárgyak, mint önálló konstrukciók, ismét tárgyai lehetnek értelmünk megismerő tevékenységének. Ez a megismerés azonban már nem érzékszerveink adataiból indul ki. A skolasztikus terminológia különbséget tesz értelmünk két irányultsága között. Prima intentio-nak nevezték értelmünknek a tőlünk független anyagi világ felé forduló tevékenységét, secunda intentio-nak pedig azt, amikor értelmünk a saját maga által konstruált tárgyak felé fordul. A kétféle megismerés tárgyai jellegükben jelentős mértékben különböznek. A valóságos, anyagi világot az állandó változás jellemzi, ezért az erre vonatkozó ismereteknek is tükrözniük kell ezt: amennyiben ezek az ismeretek igazak, meg kell felelniük az anyagi valóságnak. Ez azt jelenti, hogy ezen megismerésünkben a szigorú értelemben vett dedukciónak, az analitikus megismerésnek csak korlátozott szerepe lehet. A dedukció, a logikai következtetés tipikusan az emberi megismerés eszköze: értelmünk nem képes a megismert tartalmakat egyszerre átlátni, hanem lépésről-lépésre halad. A dedukcióban ez úgy mutatkozik meg, hogy a kiinduló állítások összes (vagy néhány) következménye csak a következtetés lépéseinek kitartó és helyes alkalmazása folyamán válik számunkra ismeretté. Minthogy a matematika tárgyai mentesek az anyag jellegzetességeitől, ezért ezek nem változnak, időtlenek. Így a matematika tételei időtől független, örök igazságokat fejeznek ki. Ez is indokolja a filozófus különös vonzódását a matematika tudománya felé. A secunda intentio eredményeit tehát bizonyos értelemben jellemzi a változatlanság, az időtől való függetlenség. A prima intentio-val kapcsolatban ez már nem mindig állítható. A meteorológus következtetései, számításai semmit sem érnek, ha ezek adatai egy évvel ezelőttről származnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a prima intentio eredményei nem lehetnek időtől független igazságok, de ezzel a kérdéssel most nem foglalkozunk.

A matematika világát tehát az időtlenség, a változatlanság és emiatt a tiszta dedukció jellemzi. Egyik régebbi bejegyzésünkben szó volt az emberi megismerés két fázisáról. Ezek a fázisok nem egymástól független fázisok, hanem egymásra épülnek, az emberi megismerés folyamatában egymást követően ismétlődnek. Az első fázisra jellemző tulajdonképpen az absztrakció, ennek a fázisnak az eredménye a fogalom, amely még állításokban, ítéletekben nem kifejezett ismeret. Az emberi megismerés teljességét, csúcspontját azonban akkor éri el, amikor az ismeret állításokban, ítéletekben fejeződik ki. Ehhez a fázishoz szorosan kapcsolódik a logikai következtetés, a dedukció művelete, amelynek segítségével igaz állításokból, ítéletekből újabb igaz állításokhoz, ítéletekhez juthatunk. A matematikára különösen jellemző ez az eljárás, a matematikai tevékenység jelentős része abban áll, hogy már ismert, elfogadott állításokból újabb állításokhoz, tételekhez jutunk bizonyítások által. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a secunda intentio és így a matematika csak ezekre szorítkozik, de erről majd később lesz szó. A következő bejegyzésben először részletesebben megvizsgáljuk a matematika két ősi ágának, az aritmetikának és geometriának tárgyait.

Az előző bejegyzésben szó volt arról, hogy az ember szellemi megismerése az érzékszervek adataiból indul ki. Az anyagot megformáló, érthető formát az értelem kiemeli az anyagi környezetből és ez a forma mintegy külön (de nem független) életet él az emberi értelemben. Így értelmezendő az a tomista “szállóige”, amely szerint az értelem szinte minden lehet, mert ez befogadhatja azokat a formákat, amelyek az anyagi világban kizárólagosan formálják meg az anyagot. Egyszerre valami nem lehet ember is, meg fa is, kék is meg nem kék is. Az értelemben azonban az anyagi világban ugyanakkor, ugyanazon a helyen egymást kizáró formák egymás mellett, de egymással összefüggésben léteznek.

A tapasztalati világban létező formák világában felfedezhető bizonyos hierarchia. (Erről egy régebbi bejegyzésben is volt szó.) A hierarchia tetején a lényegadó formák (forma substantialis) vannak. Ezek a formák biztosítják a létezőnek az önálló létezésben megvalósuló egységét. Más formák viszont nem önálló létezést jelölő formák, hanem járulékos (akcidentális formák). Ezek a formák csak a másban való létezés formái. Így a kékség mint forma mindig valamilyen dolog kékségének a formája. Az önálló létező különböző részei ugyancsak a létező lényegadó formájától különböző formáknak tekinthetők. Így például a szív, a tüdő, a csontok formái nem azonosak az ember formájával, de ezek még sem önálló formaként léteznek, hanem beépülő formák. Az ember testét alkotó molekulák formája is a testbe való beépüléskor elveszíti önállóságát, lényegadó formaságát. Ez nem jelenti azt, hogy a molekulaságból következő tulajdonságok formái megszűnnének, ezek jelen vannak, de nem mint egy önálló molekula járulékos formái, hanem mint az emberi test egy részének formái. A tomista álláspont szerint ugyanazon létezőnek csak egyetlen lényegadó formája lehet, mert a létező egysége csak így biztosítható. A természettudományok vizsgálják az egyes formák és az ezek alatt lévő formák közti összefüggéseket. Jogos törekvése ezeknek a tudományoknak megvilágítani azt, hogy az alacsonyabb szint formáit, mint lehetőségeket, hogyan formálja meg a magasabb szintű forma. Így az orvostudomány vizsgálja azt, hogy az ember élete hogyan függ a szervek, a sejtek, az ezeket alkotó molekulák stb. sajátosságaitól. A természettudományoknak azonban nagy kísértése az úgynevezett redukcionizmus, amely a magasabb szintű formák teljes megértését az egyre alacsonyabb szintű formákra való visszavezetéstől reméli, jóllehet a magasabb szintű formák soha nem oldhatóak fel teljesen az alacsonyabb szintű formákra való visszavezetés által. Így a hierarchia tetején lévő lényegadó forma sem egyenlő az alacsonyabb szintű formákból adódó lehetőségek megformálásával, hanem ez közvetlenül formálja meg a formákat teljesen nélkülöző elsődleges anyagot (materia prima), amely önmagában, forma nélkül csak lehetőségként létezik. Az anyaggal a tényleges létezésben mindig csak valamilyen forma által megformálva találkozunk. Az elsődleges anyag valóságos része annak a metafizikai összetételnek, amelyben ez a lényegadó formával együtt adja meg  egy dolog lényegét, azt ami a dolgot azzá teszi, ami. A lényegadó forma sem létezik önállóan, ez csak anyagot megformáló formaként létezik. A tomisták az anyagot tulajdonítják az egyediség elvének (principium individuationis). Az elsődleges anyagból és a lényegadó formából való összetettségben a forma utal arra, ami például minden emberben közös. Ezért ez nem lehet az ember térben és időben való konkrétságának, egyediségének az elve. Az egyediség annak az anyagnak köszönhető, amelynek bármilyen megformáltsága esetén, a megformált létező rendelkezik a mennyiség (quantitas) tulajdonságával. Ennek következtében a megformált anyag mennyiséggel megjelölt anyag (materia quantitate signata) lesz. A mennyiség, a kiterjedés adja meg a lehetőséget arra, hogy az anyagban olyan részek, darabok legyenek, amelyek nem egyeznek meg egymással és így a megformáltság az anyagnak egy konkrét darabjára vonatkozzék. A mennyiséget nem úgy kell elképzelnünk, hogy ez az anyagnak egy olyan önálló formája lenne, amely alapjául szolgálna a lényegadó formával való megformáltságnak. Mindössze csak arról van szó, hogy az anyagnak nincs olyan megformáltsága, amelyben a megformált anyag nem rendelkezik a mennyiség, kiterjedés tulajdonságával. Ezzel tulajdonképpen meg is érkeztünk a tapasztalható dolgok nélkülözhetetlen tulajdonságához, a mennyiséghez, amely jelenthet számosságot, de jelentheti a különböző mértékek által meghatározott alakzatokat is.  A matematika tárgyainak valóságbeli alapja a tapasztalható világ dolgainak ez a nélkülözhetetlen, alapvető tulajdonsága. A mennyiség annyira nélkülözhetetlen tulajdonság, hogy minden más tulajdonság feltételezi ezt. Így például, ha színről van szó, mindig egy mennyiségekkel leírható felület színéről beszélünk. Az az absztrakció, amellyel a matematika elsődleges objektumaihoz jutunk, a tomista ismeretelmélet háromféle absztrakciójának az egyike. Egy régebbi bejegyzés már röviden foglalkozott ezekkel az absztrakciókkal.

Amint arról az előző bejegyzésben szó volt, az absztrakció tulajdonképpen a megismerésnek az a folyamata, amelyben értelmünk kiemeli az anyagi valóságot megformáló formákat és ezáltal ezek ismeretként értelmünk formái lesznek. Az emberi megismerés érzékszervekhez kötöttsége miatt az ember nem képes az összes formát egyetlen megismerési aktussal felfogni. Az érzékszervek konkréthoz, egyedihez kötöttsége miatt csak a sokaságot érzékeljük. A formák által megvalósított egység felismeréséhez arra van szükség, hogy “kiszabaduljunk” az érzékelés konkrétságából. Ezt a “kiszabadulást” megvilágíthatja az a mód, ahogyan egy képet, fényképet, festményt nézünk. Ha erős nagyításban, közel a képhez csak a részleteket nézzük, akkor a kép igazi “formája” nem lesz felismerhető számunkra. A részletektől el kell vonatkoztatnunk, a képtől bizonyos távolságra kell kerülnünk ahhoz, hogy az egész “formát” felfogjuk. A távolság következtében már nem látjuk azokat a részleteket, amelyek elvonnák figyelmünket az egész kép “formájától”. Az absztrakcióban is valami hasonló történik, ebben is megfelelő “távolságra” kell kerülnünk a konkrét érzékeléstől. Ezt a “távolságot” azonban nem térbeli eltávolodás által nyerjük, hanem az által, hogy értelmünk elhagyja az érzékelés konkrétságát, egyediségét annak érdekében, hogy felismerje, megértse az érzéki adatokban lévő, egységet megjelenítő formát. Ezután a lépés után már vissza lehet térni az egyedihez, de ez a visszatérés az egyedit már nem csak érzékszervi adatok összességének tekinti, hanem a megértett forma hordozójának, például embernek. Az első absztrakciós fokozatban elvonatkoztatunk az anyagi dolgokban jelenségekben tapasztalható egyediségtől, de nem vonatkoztatunk el attól, hogy ezek a dolgok, jelenségek anyagiak. Így jutunk el az ismeretek, a tudomány azon területéhez, amelyet a Physica szóval jelölhetünk. Anélkül, hogy részletekbe mennénk, megemlítjük, hogy ez a terület mintegy legfelsőbb szinten a természetfilozófiát, a philosophia naturalis-t foglalja magában és ennek csupán egy része, a mai értelemben vett fizika. Ezen terület ismereteire jellemző, hogy az anyagi világból erednek, és az anyagiság nem zárható ki ezen ismeretekből. Így az ember fogalma értelmetlen, hibás az anyagiság feltételezése nélkül, hiszen ember anyag nélkül nem létezhet (itt a földön).

Témánk szempontjából az absztrakció második fokozata az érdekes. Ebben a fokozatban jutunk el a matematikai mennyiségek és alakzatok fogalmaihoz. Ezek a fogalmak is az anyagi valóságból származnak, de a matematikai fogalmak érthetőségének már nem feltétele az, hogy ezek az anyagiság valamilyen jegyét is hordozzák. Egy háromszög, egy prímszám elképzeléséhez, “megértéséhez” már nincs szükség semmilyen anyagra. A következő bejegyzésben tovább vizsgáljuk ezt az absztrakciót, de a teljesség kedvéért megemlítjük még az absztrakció harmadik fokozatát, a metafizikai absztrakciót is. Az absztrakciónak ebben a fokozatában ismereteink a létezőre irányulnak. A létezés vizsgálatához nem szükséges anyagi jegyeket feltételezni, de azt sem kell feltételezni, hogy a létezés csak anyagi eredetű lehet.

Az előző bejegyzésben azt a kérdést vetettük fel, hogy a matematika különböző tárgyai (így például a számok, a geometriai alakzatok vagy az olyan elvontabb struktúrák, mint például az absztrakt algebra struktúrái) milyen létezéssel rendelkeznek. Léteznek-e ezek tőlünk függetlenül vagy csak képzelőerőnk tevékenységének az eredményei ezek? A kérdést színezi az, hogy a fizika tanúsága szerint a valós, tőlünk független létezők világa valamilyen módon összefügg a matematika világával, hiszen bizonyos, matematikát intenzíven használó fizikai elméletek kísérletileg nyernek igazolást. Egyes matematikusok szerint a matematika tárgyainak világa tőlünk függetlenül létező világ, a matematikus csak felfedezi ennek a világnak a “tényeit”. Ezt az úgynevezett platonista álláspontot képviseli például az előző bejegyzésben említett Kurt Gödel, vagy A császár új elméje című könyve alapján Magyarországon is ismert Roger Penrose. A matematika eredetével kapcsolatos különböző nézetek skálájának másik szélén található álláspont szerint a matematika csak az ember, az emberi kultúra alkotása, tipikusan emberi, sőt szociális jelenség. Tomista szemszögből nézve a matematika tárgyai csak az emberi értelemben létező tárgyak, de ezek összefüggésben vannak a tőlünk függetlenül létező, tapasztalati világgal, vonatkoznak erre a világra. A matematika tárgyai entia rationis cum fundamento in re, csak értelmünkben létező dolgok, de ezek léte a tőlünk független valóságban van megalapozva. Ezzel a “definícióval” kapcsolatban fölmerül a kérdés, hogy hogyan keletkeznek értelmünkben a matematika tárgyai, mi ezek viszonya a tapasztalati világhoz. A kérdésre a választ a tomista ismeretelmélet egyik legfontosabb fogalma, az elvonás, az absztrakció fogalma segítségével adhatjuk meg.

Az absztrakció tomista fogalmának megvilágításához az absztrakció egy “modernebb” változatából, a szoftverfejlesztés folyamán használt absztrakcióból indulunk ki. (Egy korábbi megjegyzésünkben már használtunk a szoftverfejlesztés területéről vett analógiát.) Közismert, hogy a számítógépes programok nagyon egyszerű (szinte primitívnek mondható), számítógépek által közvetlenül végrehajtható utasítások, úgynevezett gépi kódú utasítások ezreiből,  millióiból állnak. Ezekből a primitív utasításokból a bonyolult programok (ilyen például a Microsoft Office) közvetlen felépítése rendkívül nehézkes, hibák elkövetésének erősen kitett, hosszú folyamat. Ráadásul a különböző számítógépek különböző elemi utasításokkal rendelkezhetnek. A szoftverfejlesztésben hamar rájöttek arra, hogy egy konkrét szoftverobjektum esetében el lehet választani azt, hogy valamilyen magasabb szinten az objektumnak mi a feladata, attól, hogy ez az objektum hogyan oldja meg ezt a feladatot. Ez a szétválasztás azt eredményezte, hogy a fizikailag ténylegesen létező hardver szintje fölött megjelentek olyan szintek, amelyek fizikailag a szó szoros értelmében nem létező szintek, mert ezek nem az egyes feladatokat megvalósító konkrét utasítások szintjei, hanem maguknak a feladatoknak ezektől ezektől elválasztott, elvonatkoztatott szintjei. Ezek a szintek sokszor az úgynevezett magas szintű nyelveken íródnak le. Ilyen nyelvek például a Java, a C, a C++ stb,  de még az a HTML nyelv is ilyennek tekinthető, amely nyelvű szövegbe ez a szöveg is, amelyet most írok,  beágyazódik annak érdekében, hogy a böngészők megfelelő formában jeleníthessék ezt meg. Az absztrakció szoftverfejlesztésben való intenzív használata azonban nem csak a magasszintű nyelvek használatában jelenik meg, hanem a szoftver megtervezésében is. A jó szoftvertervező absztrakciókat, absztrakciós szinteket használ. Ezek a szintek először és elsősorban a tervező fejében (és a szoftver dokumentációjában) léteznek, magában a gépi kódú programban (amely végső soron 0 és 1 számjegyek, bitek sorozata) nem feltétlenül ismerhetőek fel, mégis a program a szoftvertervező absztrakcióit, koncepcióit valósítja meg.

A szoftverfejlesztés szempontjából különösen érdekesek azok a fordítóprogramok, amelyek bemenete például a fentiekben említett, magas szintű nyelveken írt valamilyen program, kimenete pedig a gépi kódú utasításokból álló program. A fordítóprogram is szoftver, ennek a tervezését is célszerű absztrakciós szintek kialakításával tervezni. Az absztrakciós szintek megfeleltethetők a bemenő szöveg szerkezetének. Legalacsonyabb szinten ez a szerkezet bitek sorozatának tekinthető. A következő szint a betűk, számjegyek, jelek, karakterek szintje. Az egyes karaktereknek bitek adott sorozata felel meg. Így például az egyik kódrendszerben (ASCII) az “a” betűnek a “00111101″ sorozat felel meg. A bitsorozat szintje fölött van tehát a karakterek szintje, amelyet a bitsorozatból kiemelt karakterek sorozata jelenít meg. A karakterek sorozatából emelődik ki a magasabb szintaktikai egységek (például szavak, számok, műveleti és egyéb jelek) sorozata. A következő szint az előbbi szint objektumainak sorozatából “kivonja, absztrahálja” az utasításokat, majd a legfelső szint a teljes program szintje. Azt látjuk tehát, hogy a bitek sorozatából a fordítóprogram saját maga számára érthető struktúrákat, formákat emel ki, és ezen struktúrák, formák alapján újabb struktúrákat, formákat ismer fel. Az egyes absztrakciók mögött valaminek az elhagyása van. Az utasítások szintjén például nem foglalkozunk a bitekkel, a karakterekkel, itt csak a közvetlenül ez alatt lévő szintből “emeljük ki” az utasításokat. Ez a kiemelés, elhagyás annyira valóságos, hogy a kiemelt struktúra szempontjából az sem fontos már, hogy az alsóbb, közvetlenül nem érintett szintek mire vonatkoznak. Ha például a gépünk valamilyen optikai olvasóval rendelkezne és felismerné az írott karaktereket, akkor bitsorozatok nélkül is ugyanolyan struktúrákhoz, formákhoz jutnánk.

A fenti, szoftverfejlesztésből vett analógia segítségével próbáljuk megvilágítani azt a tomista megállapítást, hogy az értelem az absztrakció által jut el a szellemi megismerés tárgyáig az intelligibile-ig. Egyik bejegyzésben szó volt az anyagi létezők elsődleges anyagból és lényegadó formából való összetettségéről. A forma és a megformált valami összetettségét analógiaként szemléltetheti egy program forrásnyelvi szövege. Ez a szöveg végső soron bitek sorozata, mégis ebben a sorozatban benne van formaként egy program. A program a sorozatot információ hordozójává teszi, a bitsorozatot mintegy programszöveggé “formálja”. A program formaként az egész bitsorozatot megformálja, ugyanakkor alacsonyabb szintű formák (karaktereknek, magasabb rendű szintaktikai egységeknek, szerkezeteknek a formái) is megformálják a bitsorozat egyes részsorozatait. A teljes program egyrészt a teljes bitsorozatot megformálja, másrészt az alacsonyabb szintaktikai szerkezetek sorozatai ennek szempontjából ugyancsak megformált valaminek tekinthetők.

A fenti modell azonban az anyagi világ valóságához képest nagyon külsődleges modell. Az említett formák külsődleges formák, csak külsőleg kapcsolódnak a bitek sorozatához, amelyek ugyancsak megformált dolgok. Ennek a külsődleges kapcsolódásnak az alapja a szoftverfejlesztők értelmezése, az általuk készített fordítóprogramok és egyéb programok. A tomista értelmezés szerint a megformált valami (a megformálás előtt) lehetőségként, képességként (potentia-ként) viszonylik az őt megformáló formához, amely az az aktualitás, amelyet a lehetőség befogad, amely által ez a lehetőség ténylegességgé, “megfoghatóvá” válik. A világban tapasztalható dolgok ténylegességek. A lehetőség ténylegesség nélkül csak lehetőségi, nem pedig valósan megtapasztalható létezés. Közvetlenül csak a ténylegesen létezőt tudjuk megismerni, csak ez képes érzékszerveinkre hatni. A ténylegességet viszont a formák adják, ezért megismerésünk igazi tárgya, az értelmünk által felfogható, az intelligibile mindig valamilyen forma. Az anyagi világ ténylegességét, megismerhetőségét tehát a formák adják. Ezek a formák nemcsak az anyagot, az anyagi világ lehetőségeit formálják meg, hanem az anyagi világ megismerésének folyamatában értelmünk formáivá is válnak, mintegy értelmünket formálják meg ismeretként. Így ugyanaz a forma egyrészt a tapasztalati világban létező, anyagot, anyagi lehetőséget megformáló forma, másrészt azonban az értelmünkben meglévő lehetőséget (ezt lehetőség szerinti értelemnek, intellectus possibilis-nek nevezik a skolasztikusok) is megformáló forma. A kétfajta létezés alapvetően különbözik egymástól, az egyik a forma anyagban való, anyagot megformáló létezése, a másik létezés az a szellemi létezés, amelyben az ismeret az értelem egy minőségeként, állapotaként létezik. Az ismeret nem a külső világban megformált valaminek az értelembe történő átvitele által keletkezik, hanem ez az úgynevezett cselekvő értelem, intellectus agens tevékenységének az eredménye. Az intellectus agens az érzéki megismerés adataiból kiemeli a formát és ezt  az intellectus possibilis (egy minőségének) a formájává teszi. A szó legáltalánosabb értelmében ezt a folyamatot nevezhetjük absztrakciónak, elvonásnak. Ez a folyamat a forma eredeti környezetéből történő kiemelését és a szellemi környezetben lévő érthetővé, ismeretté válását eredményezi. Az eredeti környezet az a tapasztalható világ, amelyben a dolgok, a történések mindig egyediek, adott helyen és időben vannak. Szellemi ismereteink ugyanakkor bizonyos állandóságról, bizonyos időtől és helytől független érvényességről tanúskodnak. Ez azonban nem azt jelenti, hogy szellemi ismereteink a megértés valamilyen független világát alkotják. Ezek mindig valamilyen közvetlen vagy közvetett vonatkozásban vannak azzal a világgal, ahonnan származnak. Ez világ pedig a konkrét tapasztalható dolgok világa. Ezt a világot szellemi természetű ismereteink által értjük meg.

A következő bejegyzésben az absztrakció fajtáiról, folyamatáról lesz szó. A matematikai ismeretekhez az absztrakció egyik fajtája vezet el.