Az előző bejegyzésekben eljutottunk ahhoz a megállapításhoz, hogy a matematika tárgyai ugyan eredetüket tekintve szoros kapcsolatban vannak az anyagi világgal, mégis ezek a tárgyak már nem viselik magukon az anyagi világ jegyeit, ezek csak értelmünk formái. Szó volt arról a különbségről, amely az absztrakció első és második fokozata között van. Az első fokozat csak az érzékelés konkrétságától, tértől és időtől való függésétől tekint el, de az elvont, absztrahált formák az anyagi világban valóságosan létező formák. Így a kutyaság, mint lényegadó forma valóságosan megformálja az anyagot, amely megformált anyag ezen forma miatt kutya. A kutya forma azonban, a platonistának nevezett véleménytől eltérően, önmagában, konkrét kutyák nélkül nem létezik, de ott van minden egyes kutyában valóságos metafizikai összetevőként. A matematikai absztrakció folyamán keletkezett formákat azonban tiszta állapotukban nem lehet az anyag valóságos formáinak tekinteni, mégis ezek a formák nem az anyagi valóságtól függetlenül, ettől elszakadva keletkeznek.
A következőkben az aritmetika legalapvetőbb fogalmát, a természetes szám fogalmát elemezzük abból a szempontból, hogy mi ennek az alapja az anyagi valóságban. (Természetes számok a pozitív egész számok, tehát az 1,2,3…) Az egynél nagyobb természetes számokat tartalmazó állításokban megtalálható az egységnek és a különbözőségnek valamilyen mozzanata. “Az öt birka legel a réten” állításban például az egységet az jelenti, hogy a birkák egy konkrét réten éppen legelnek. Ugyanakkor különbözőségről is szó van. Ezt a különbséget fejezi ki például az a tény is, hogy az öt birka a térben a rét különböző helyein legel. Ha nem lenne különbség köztük, akkor csak egyetlen birka legelne. Ez az egység és vele együtt a különbség is az anyagi világ valósága. “A parkolóban öt autó áll” állításban hasonlóan felfedezhető az egység mozzanata: az autók a parkolóban állnak. Ugyanakkor megtalálható a különbség is: az autók különböző parkolóhelyeken állnak, mert csak így lehet több autóról szó. (Meg kell azonban jegyeznünk, hogy az egység és különbözőség állításával nem adjuk fel az ellentmondás elvét, mert az egységet és különbözőséget nem ugyanarról, ugyanabból a szempontból állítjuk.) A két helyzet (öt birka a legelőn, öt autó a parkolóban) között azonban van valamilyen hasonlóság. Ez a hasonlóság lehetőséget ad arra, hogy az autók elmenjenek a legelőre és minden autó hazaszállítson egy birkát. A szállítás folyamán az összes autót használtuk, az autók csak egy birkát szállítottak és minden birka hazakerült. Ha a parkolóban csak négy autó lett volna, akkor egy birka a legelőn maradna. Ha viszont hat autó lett volna a parkolóban, akkor egy autó birka nélkül ment volna el a legelőről. Tehát a két helyzet között van valami hasonlóság, ez a hasonlóság valamilyen lehetőségben vagy lehetőségekben mutatkozik meg. Ezeknek a lehetőségeknek nem kell ténylegesen is megvalósulniok, értelmünk mégis felismeri ezeket, ezekre utal a természetes számokkal, jelen esetben az ötös számmal. Amikor tehát az ötös számot használtuk különböző helyzetekben, akkor ezzel olyan lehetőségekre utaltunk, amelyek valamilyen módon “összehozzák” az öt valamiket, legyenek ezek birkák, autók, felhőkarcolók stb.
Láttuk tehát, hogy a szám fogalma feltételez valamilyen egységet és különbözőséget. Megjegyezzük, hogy az egységet az is biztosíthatja, hogy mi jelőljük ki azokat a tárgyakat, amelyeket például megszámolunk. Ez történik például akkor, amikor kiválasztunk két birkát az ötből. Ilyenkor az (új) egység alapja a mi választásunk. A természetes szám fogalmában azonban eltűnik az egység és különbözőség konkrét tartalma, ezért beszélhetünk öt birkáról és öt autóról, függetlenül attól, hogy ezekben az esetekben mi az egység és különbözőség konkrét tartalma. Ezért a természetes szám nemcsak az anyag legalapvetőbb tulajdonságával, a mennyiséggel kapcsolatban használható, hanem beszélhetünk a nem anyagi létezéssel kapcsolatban is számosságról. Így beszélhetünk a hét arkangyalról, akik közül hármat említ a Szentírás (Mihályt, Gábrielt, Ráfaelt). Esetükben a különbözőséget nem az anyagi létezéssel együtt járó kiterjedtség biztosítja, hanem a három angyal lényegi, természeti különbözősége.
Valamilyen, de nem meghatározott egység és különbözőség alapján hozzuk létre a halmaz fogalmát, amelyben az egység abban fejeződik ki, hogy egy halmazról van szó, a különbözőség pedig abban, hogy ennek egymástól különböző elemei vannak. A számosság tulajdonképpen bizonyos halmazok közös tulajdonsága.
A természetes számok ontológiai helyzetével kapcsolatban azonban talán még mindig felvethető az a kérdés, hogy az “ötösségnek” nem felel-e meg valamilyen elkülöníthető, anyagban valóságosan létező forma. A kutyaságnak megfelelő forma metafizikailag elkülöníthető Bodritól, hiszen ha ez nem lenne így, akkor Bodri azonos lenne a kutyasággal, azaz Bodri lenne az egyetlen kutya. Nem lehet-e elkülöníteni az “öt kutya” formától az “öt” formát úgy, hogy az “ötről” is feltételezzük azt, hogy ez anyagban valóságosan létező forma? A válasz nemleges. Az előzőekben láttuk, hogy a természetes szám fogalma úgy tételez fel valamilyen egységet és különbözőséget, hogy ezekhez semmilyen tartalom nem tartozik, azaz az természetes szám szempontjából nincs jelentősége annak, hogy miben áll ez az egység és különbözőség. Ilyen forma azonban csak az értelemben alakulhat ki absztrakció révén, mert az értelmünktől független létezés rendjében nincs egység és különbözőség csak önmagában, tartalom nélkül. Azaz az egység mindig valaminek az egysége, a különbözőség pedig mindig valaminek a különbözősége. Ezért értelmünktől függetlenül nincs például “öt” forma, hanem mindig csak olyan forma, amely tartalmazza azt is, hogy mi az, ami öt.
Összefoglalva tehát megállapíthatjuk, hogy az aritmetika legalapvetőbb tárgyai, a természetes számok értelmünk létezői, ez a létezés azonban nem értelmünk önkényes, valóságtól független tevékenységének az eredménye. Kronecker német matematikus mondása szerint “a természetes számokat Isten alkotta, a többi már emberi alkotás”. Amint láttuk, még a természetes számok is az emberi értelem alkotásai, amelyek azonban nem függetlenek Isten alkotásától, az anyagi világtól. A matematikusokat azonban néha megdöbbenti az a rejtélyesség, titokzatosság, amely például a természetes számok körében is található. A matematikának egy igen régi, de máig számos megoldatlan problémát tartalmazó ága az elsősorban a természetes számokkal foglalkozó számelmélet. A prímeknek nevezett természetes számok az egyen és önmagukon kívül más osztót nem tartalmaznak. Ilyen számok a 2, 3, 5, 7, 11 stb. Sok megválaszolatlan kérdés merült fel a prímekkel kapcsolatban. Így például Eukleidész vetette fel azt a kérdést, hogy van-e végtelen sok ikerprím. Ikerprímnek nevezünk két olyan prímet, amelyek között csak egy (páros) szám található. Ikerprím például a 3 és 5, az 5 és 7, a 11 és 13, az 1997 és 1999. Az Eukleidész által feltett kérdés máig megválaszolatlan. Többek között ez és az ezekhez hasonló problémák hatására gondolja azt több (platonistának nevezett) matematikus, hogy például a prímek embertől függetlenül létező valamik, amelyeknek a tulajdonságait a matematikus csak felfedezi.
Valójában azonban arról van szó, hogy megismerésünk bizonyos irányába haladva egyre általánosabb, de ezzel egyúttal egyre létben szegényebb formákhoz jutunk. Ezek a formák sok más formába beépülhetnek, ezekben az anyagi létezők igen általános építőköveiről van szó. Ilyenek például a mai ismereteink szerinti elemi részecskék: proton, neutron, elektron stb. Értelmünk azonban soha nem tud megállni egyetlen ilyen formánál sem, nem tudja ezeket abszolút végső formáknak tekinteni, hanem még elemibb formákat keres. A létezésben való szegénység miatt ezeket a formákat egyre inkább a mennyiség határozza meg, ezen formák tartalma már csak néhány, mennyiséggel egyértelműen leírható tulajdonság. Ilyen tulajdonságok például az elemi részecskék tömege, a töltése vagy a rejtélyes, perdületnek, spin-nek nevezett tulajdonsága. Azonban ezek a formák sem tekinthetők végső formáknak, az ezekben előforduló mennyiségek is mindig valaminek a mennyiségei. Értelmünk tehát nem képes az anyagban a végső, további formákra már nem utaló formákat megtalálni. Ehelyett viszont képes olyan formákat kialakítani, amelyek tisztán már nem találhatóak meg az anyagban, de valamilyen értelemben ezek tekinthetők azoknak a végső formáknak, amelyekre az anyagban lévő formák utalnak. Ezek a formák azonban már csak az értelemben léteznek. Miért van ez így? Ennek oka az emberi értelemnek az a sajátsága, hogy az anyagvilág megismerésében nem Isten teremtő eszméiből indul ki, hanem az anyagi természetű érzékelésből. (Erről az előző megjegyzésben volt szó.) Ennek a megismerésnek a korlátozottságát mutatja, hogy ez nem képes az anyagvilág “mélységét” átlátni, hanem ennek a megismerésében egyre elemibb formák soha véget nem érő sorozatán keresztül halad. A matematikai absztrakció azonban valamilyen értelemben meghaladja ezt a fajta megismerést, ez eljut valamilyen értelemben végsőnek tekinthető formákhoz, de ezek már nem az anyag formái. Így nem is annyira meglepő, hogy ezen formák teljes tartalmának megismerésében, felfedezésében az ember a matematikai megismerés már anyagtól elszakadt sok-sok lépésén keresztül folyamatosan halad előre.
A következő, témát záró bejegyzésben a matematika másik ősi ágáról, a geometriáról is lesz szó.