Az előző bejegyzésben láttuk, hogy az emberi megismerés jellegzetes művelete, az absztrakció az anyagi valóságban lévő formák kiemelését jelenti. Az absztrakció első fokozata elvonatkoztat az érzékszervi adatok, az ezek alapján keletkezett képek konkrétságától, adott helytől és időtől való függésétől, de nem tekint el attól, hogy ezek a formák anyagban lévő formák. Ennek az absztrakciónak egyik “teljesítménye” a formák hierarchiájának legfelső fokán lévő lényegadó formák megismerése. Ezek közül a “leglényegibb”, az egységet leginkább megjelenítő forma az ember lényegét megjelenítő forma. Az anyagi világban az ember a leginkább létező, a leginkább egy. Ez az egység azért a legteljesebben megvalósult egység ebben a világban, mert arra épül, hogy az ember lényegadó formája szerint szellem. Ez a lényegadó forma azonban az anyagot formálja meg, ezért ez az egység egyúttal a nagyfokú összetettségre is épül, ez az egység sok elemből álló, bonyolult “gépezet” egysége is. A matematikai absztrakció, jóllehet ugyancsak az anyagi formákból indul ki, mégis eredményként olyan formákhoz jut, amelyek megértéséhez már nem kell feltételeznünk azt, hogy ezek a formák anyagban lévő formák. Amint az előző bejegyzésben láttuk, a mennyiség formái olyan tulajdonságok formái, amelyek minden megformált anyagra jellemzőek az elemi részecskéktől kezdve az emberig. A mennyiség olyan alapvető tulajdonság, amely minden más anyagi tulajdonsághoz nélkülözhetetlen. A mennyiségekkel kapcsolatos formák tisztán, más formák nélkül sehol sem jelennek meg, ugyanakkor a hierarchia alacsonyabb szintjein ezeken kívül, ezekre épülve már kevés egyéb tulajdonsággal találkozunk, de ezekkel a formákkal nem a tiszta matematika, hanem a matematikai fizika, az elméleti fizika foglalkozik. Az előző bejegyzésekben láttuk, hogy az elsődleges anyag (materia prima) érzékszerveinkkel nem ragadható meg. Nincs azonban olyan legalacsonyabb szintű forma, amely alatt már nem lehetnének még alacsonyabb szintű formák ¹. A tisztán csak mennyiséget tartalmazó, semmilyen erre épülő formát fel nem tételező forma így anyagi világukban nem létezik. A mennyiség mindig valaminek a mennyisége. Értelmünk azonban képes, mintegy határesetként, olyan formákat létrehozni, amelyek megfelelnek az anyagi világban valóságosan nem, hanem csak határesetként létező formáknak. Ezek a formák a mennyiségek tiszta formái. Ez a magyarázata annak, hogy a matematikai absztrakció ugyan a valóságból ered, mégis az eredményeként létrejövő matematikai tárgyak már elszakadnak az anyagi világtól, az anyagi világ ilyen tiszta formákat nem tartalmaz. Eredetükben tehát ezek a formák is kapcsolódnak az anyaghoz, de megértésük, vizsgálatuk már minden anyagi vonatkozás nélkül történik.

Még mielőtt a további részletekbe mennénk, a tiszta matematika objektumainak ontológiai helyzetére vonatkozó kérdésekre már általánosságban válaszolhatunk. Van-e ezeknek az objektumoknak értelmünktől független, valós léte? A platonista állásponttal ellentétben a válasz nemleges. Ezek az objektumok csak értelmünk létezői, de eredetükben nem függetlenek az anyagi valóságtól: entia rationis cum fundamento in re. Az ember-forma valóságban létező forma, amely ugyan fizikailag nem választható el a konkrétan létező embertől, mert ez a forma önállóan, konkrét emberektől függetlenül nem létezik, metafizikailag mégis valóságos különbség van ezen forma és az általa megformált anyag vagy ezen forma és a konkrét ember között. A matematikai formákról azonban semmilyen értelmünktől független, valóságos létezés nem állítható. Amikor azonban értelmünk ezeket a formákat létrehozza, halvány visszfényként tükrözi az isteni értelmet, amely a teremtésben azáltal is megmutatkozik, hogy az anyagi világ olyan formákra utal, amelyek tisztán már csak az értelem formái lehetnek. Ebből ered a platonizmus különleges vonzódása a matematika, a matematika világa felé. A platonizmus ezt a világot egy tökéletes, ideális világnak tekinti, amelyben az anyagi világ “részesedik”. A tomista álláspont szerint ez a világ önálló valóságként nem létezik, ez a világ értelmünk világa, amely azonban utal a végtelen isteni értelemre, amely a teremtésben megmutatkozik.

Felmerülhet a kérdés, hogy miért van az, hogy anyagi világunk megértésében értelmünk által létrehozott olyan formákra is szorulunk, amelyek már nem az anyagban létező formák, amelyekhez csak “konvergálnak” az anyagban létező formák. A magyarázat az emberi értelem gyengeségében keresendő. A tomista álláspont szerint minden értelmek leggyengébbike az emberi értelem. A tisztán szellemi megismerésben az anyagi világ nem érzékszervek adatainak a közvetítésével jelenik meg. Az isteni megismerésben a teremtett világ ismerete a teremtés örök eszméinek ismeretét jelenti, ezek azonban nem különböznek Isten önismeretétől.  Az angyali ismeret esetében is a teremtés eszméiről van szó, amelyek az angyal Istenről való ismeretében foglaltatnak. Az tisztán szellemi megismerésben tehát az anyagi világ elválaszthatatlan a teremtéstől. Az anyagi világ végső és teljes értelmét a teremtésből nyeri. Az emberi megismerés kiindulópontja azonban ugyanaz, mint a szellemi öntudattal nem rendelkező állati megismerés kiindulópontja: az érzékelés. A teremtett világ viszont a maga teljességében csak Isten teremtő tette felől érthető meg. Az emberi értelem azonban nem ebből a szempontból nézi a világot. A teremtő tettig csak az elegendő magyarázat, ok elvén keresztül jutunk el, de az így szerzett ismeret is inkább csak ezen tett létére utal és nem hogyanjára, mivoltára. Ezért az anyagi világban élő ember a teremtés szempontjából “kívülről” szemléli a világot. Ez az oka annak, hogy ennek valamilyen megértése felé haladva bizonyos formákat az anyagi világtól elválasztva, csak szellemileg, értelmileg létező formaként felfogva képes értelmezni a világot. Azt jelenti ez, hogy az emberi értelem, önmagától, mindent megelőzően, a priori hozza létre ezeket a formákat? Nem erről van szó, mert az absztrakció alapján az érzékszervi adatokból kiemelt formák alapján alakulnak ki ezek a formák, amelyek a maguk tisztaságában már közvetlenül nem találhatóak meg anyagban létező formaként. Ezek a formák tehát nem “légből kapott” formák.

A matematika tárgyai tehát értelmünk konstrukciói, amelyhez a kiinduló “anyagot” végső soron érzékszerveink szállítják. Azonban ezek a tárgyak, mint önálló konstrukciók, ismét tárgyai lehetnek értelmünk megismerő tevékenységének. Ez a megismerés azonban már nem érzékszerveink adataiból indul ki. A skolasztikus terminológia különbséget tesz értelmünk két irányultsága között. Prima intentio-nak nevezték értelmünknek a tőlünk független anyagi világ felé forduló tevékenységét, secunda intentio-nak pedig azt, amikor értelmünk a saját maga által konstruált tárgyak felé fordul. A kétféle megismerés tárgyai jellegükben jelentős mértékben különböznek. A valóságos, anyagi világot az állandó változás jellemzi, ezért az erre vonatkozó ismereteknek is tükrözniük kell ezt: amennyiben ezek az ismeretek igazak, meg kell felelniük az anyagi valóságnak. Ez azt jelenti, hogy ezen megismerésünkben a szigorú értelemben vett dedukciónak, az analitikus megismerésnek csak korlátozott szerepe lehet. A dedukció, a logikai következtetés tipikusan az emberi megismerés eszköze: értelmünk nem képes a megismert tartalmakat egyszerre átlátni, hanem lépésről-lépésre halad. A dedukcióban ez úgy mutatkozik meg, hogy a kiinduló állítások összes (vagy néhány) következménye csak a következtetés lépéseinek kitartó és helyes alkalmazása folyamán válik számunkra ismeretté. Minthogy a matematika tárgyai mentesek az anyag jellegzetességeitől, ezért ezek nem változnak, időtlenek. Így a matematika tételei időtől független, örök igazságokat fejeznek ki. Ez is indokolja a filozófus különös vonzódását a matematika tudománya felé. A secunda intentio eredményeit tehát bizonyos értelemben jellemzi a változatlanság, az időtől való függetlenség. A prima intentio-val kapcsolatban ez már nem mindig állítható. A meteorológus következtetései, számításai semmit sem érnek, ha ezek adatai egy évvel ezelőttről származnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a prima intentio eredményei nem lehetnek időtől független igazságok, de ezzel a kérdéssel most nem foglalkozunk.

A matematika világát tehát az időtlenség, a változatlanság és emiatt a tiszta dedukció jellemzi. Egyik régebbi bejegyzésünkben szó volt az emberi megismerés két fázisáról. Ezek a fázisok nem egymástól független fázisok, hanem egymásra épülnek, az emberi megismerés folyamatában egymást követően ismétlődnek. Az első fázisra jellemző tulajdonképpen az absztrakció, ennek a fázisnak az eredménye a fogalom, amely még állításokban, ítéletekben nem kifejezett ismeret. Az emberi megismerés teljességét, csúcspontját azonban akkor éri el, amikor az ismeret állításokban, ítéletekben fejeződik ki. Ehhez a fázishoz szorosan kapcsolódik a logikai következtetés, a dedukció művelete, amelynek segítségével igaz állításokból, ítéletekből újabb igaz állításokhoz, ítéletekhez juthatunk. A matematikára különösen jellemző ez az eljárás, a matematikai tevékenység jelentős része abban áll, hogy már ismert, elfogadott állításokból újabb állításokhoz, tételekhez jutunk bizonyítások által. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a secunda intentio és így a matematika csak ezekre szorítkozik, de erről majd később lesz szó. A következő bejegyzésben először részletesebben megvizsgáljuk a matematika két ősi ágának, az aritmetikának és geometriának tárgyait.