Az előző bejegyzésben azt a kérdést vetettük fel, hogy a matematika különböző tárgyai (így például a számok, a geometriai alakzatok vagy az olyan elvontabb struktúrák, mint például az absztrakt algebra struktúrái) milyen létezéssel rendelkeznek. Léteznek-e ezek tőlünk függetlenül vagy csak képzelőerőnk tevékenységének az eredményei ezek? A kérdést színezi az, hogy a fizika tanúsága szerint a valós, tőlünk független létezők világa valamilyen módon összefügg a matematika világával, hiszen bizonyos, matematikát intenzíven használó fizikai elméletek kísérletileg nyernek igazolást. Egyes matematikusok szerint a matematika tárgyainak világa tőlünk függetlenül létező világ, a matematikus csak felfedezi ennek a világnak a “tényeit”. Ezt az úgynevezett platonista álláspontot képviseli például az előző bejegyzésben említett Kurt Gödel, vagy A császár új elméje című könyve alapján Magyarországon is ismert Roger Penrose. A matematika eredetével kapcsolatos különböző nézetek skálájának másik szélén található álláspont szerint a matematika csak az ember, az emberi kultúra alkotása, tipikusan emberi, sőt szociális jelenség. Tomista szemszögből nézve a matematika tárgyai csak az emberi értelemben létező tárgyak, de ezek összefüggésben vannak a tőlünk függetlenül létező, tapasztalati világgal, vonatkoznak erre a világra. A matematika tárgyai entia rationis cum fundamento in re, csak értelmünkben létező dolgok, de ezek léte a tőlünk független valóságban van megalapozva. Ezzel a “definícióval” kapcsolatban fölmerül a kérdés, hogy hogyan keletkeznek értelmünkben a matematika tárgyai, mi ezek viszonya a tapasztalati világhoz. A kérdésre a választ a tomista ismeretelmélet egyik legfontosabb fogalma, az elvonás, az absztrakció fogalma segítségével adhatjuk meg.
Az absztrakció tomista fogalmának megvilágításához az absztrakció egy “modernebb” változatából, a szoftverfejlesztés folyamán használt absztrakcióból indulunk ki. (Egy korábbi megjegyzésünkben már használtunk a szoftverfejlesztés területéről vett analógiát.) Közismert, hogy a számítógépes programok nagyon egyszerű (szinte primitívnek mondható), számítógépek által közvetlenül végrehajtható utasítások, úgynevezett gépi kódú utasítások ezreiből, millióiból állnak. Ezekből a primitív utasításokból a bonyolult programok (ilyen például a Microsoft Office) közvetlen felépítése rendkívül nehézkes, hibák elkövetésének erősen kitett, hosszú folyamat. Ráadásul a különböző számítógépek különböző elemi utasításokkal rendelkezhetnek. A szoftverfejlesztésben hamar rájöttek arra, hogy egy konkrét szoftverobjektum esetében el lehet választani azt, hogy valamilyen magasabb szinten az objektumnak mi a feladata, attól, hogy ez az objektum hogyan oldja meg ezt a feladatot. Ez a szétválasztás azt eredményezte, hogy a fizikailag ténylegesen létező hardver szintje fölött megjelentek olyan szintek, amelyek fizikailag a szó szoros értelmében nem létező szintek, mert ezek nem az egyes feladatokat megvalósító konkrét utasítások szintjei, hanem maguknak a feladatoknak ezektől ezektől elválasztott, elvonatkoztatott szintjei. Ezek a szintek sokszor az úgynevezett magas szintű nyelveken íródnak le. Ilyen nyelvek például a Java, a C, a C++ stb, de még az a HTML nyelv is ilyennek tekinthető, amely nyelvű szövegbe ez a szöveg is, amelyet most írok, beágyazódik annak érdekében, hogy a böngészők megfelelő formában jeleníthessék ezt meg. Az absztrakció szoftverfejlesztésben való intenzív használata azonban nem csak a magasszintű nyelvek használatában jelenik meg, hanem a szoftver megtervezésében is. A jó szoftvertervező absztrakciókat, absztrakciós szinteket használ. Ezek a szintek először és elsősorban a tervező fejében (és a szoftver dokumentációjában) léteznek, magában a gépi kódú programban (amely végső soron 0 és 1 számjegyek, bitek sorozata) nem feltétlenül ismerhetőek fel, mégis a program a szoftvertervező absztrakcióit, koncepcióit valósítja meg.
A szoftverfejlesztés szempontjából különösen érdekesek azok a fordítóprogramok, amelyek bemenete például a fentiekben említett, magas szintű nyelveken írt valamilyen program, kimenete pedig a gépi kódú utasításokból álló program. A fordítóprogram is szoftver, ennek a tervezését is célszerű absztrakciós szintek kialakításával tervezni. Az absztrakciós szintek megfeleltethetők a bemenő szöveg szerkezetének. Legalacsonyabb szinten ez a szerkezet bitek sorozatának tekinthető. A következő szint a betűk, számjegyek, jelek, karakterek szintje. Az egyes karaktereknek bitek adott sorozata felel meg. Így például az egyik kódrendszerben (ASCII) az “a” betűnek a “00111101″ sorozat felel meg. A bitsorozat szintje fölött van tehát a karakterek szintje, amelyet a bitsorozatból kiemelt karakterek sorozata jelenít meg. A karakterek sorozatából emelődik ki a magasabb szintaktikai egységek (például szavak, számok, műveleti és egyéb jelek) sorozata. A következő szint az előbbi szint objektumainak sorozatából “kivonja, absztrahálja” az utasításokat, majd a legfelső szint a teljes program szintje. Azt látjuk tehát, hogy a bitek sorozatából a fordítóprogram saját maga számára érthető struktúrákat, formákat emel ki, és ezen struktúrák, formák alapján újabb struktúrákat, formákat ismer fel. Az egyes absztrakciók mögött valaminek az elhagyása van. Az utasítások szintjén például nem foglalkozunk a bitekkel, a karakterekkel, itt csak a közvetlenül ez alatt lévő szintből “emeljük ki” az utasításokat. Ez a kiemelés, elhagyás annyira valóságos, hogy a kiemelt struktúra szempontjából az sem fontos már, hogy az alsóbb, közvetlenül nem érintett szintek mire vonatkoznak. Ha például a gépünk valamilyen optikai olvasóval rendelkezne és felismerné az írott karaktereket, akkor bitsorozatok nélkül is ugyanolyan struktúrákhoz, formákhoz jutnánk.
A fenti, szoftverfejlesztésből vett analógia segítségével próbáljuk megvilágítani azt a tomista megállapítást, hogy az értelem az absztrakció által jut el a szellemi megismerés tárgyáig az intelligibile-ig. Egyik bejegyzésben szó volt az anyagi létezők elsődleges anyagból és lényegadó formából való összetettségéről. A forma és a megformált valami összetettségét analógiaként szemléltetheti egy program forrásnyelvi szövege. Ez a szöveg végső soron bitek sorozata, mégis ebben a sorozatban benne van formaként egy program. A program a sorozatot információ hordozójává teszi, a bitsorozatot mintegy programszöveggé “formálja”. A program formaként az egész bitsorozatot megformálja, ugyanakkor alacsonyabb szintű formák (karaktereknek, magasabb rendű szintaktikai egységeknek, szerkezeteknek a formái) is megformálják a bitsorozat egyes részsorozatait. A teljes program egyrészt a teljes bitsorozatot megformálja, másrészt az alacsonyabb szintaktikai szerkezetek sorozatai ennek szempontjából ugyancsak megformált valaminek tekinthetők.
A fenti modell azonban az anyagi világ valóságához képest nagyon külsődleges modell. Az említett formák külsődleges formák, csak külsőleg kapcsolódnak a bitek sorozatához, amelyek ugyancsak megformált dolgok. Ennek a külsődleges kapcsolódásnak az alapja a szoftverfejlesztők értelmezése, az általuk készített fordítóprogramok és egyéb programok. A tomista értelmezés szerint a megformált valami (a megformálás előtt) lehetőségként, képességként (potentia-ként) viszonylik az őt megformáló formához, amely az az aktualitás, amelyet a lehetőség befogad, amely által ez a lehetőség ténylegességgé, “megfoghatóvá” válik. A világban tapasztalható dolgok ténylegességek. A lehetőség ténylegesség nélkül csak lehetőségi, nem pedig valósan megtapasztalható létezés. Közvetlenül csak a ténylegesen létezőt tudjuk megismerni, csak ez képes érzékszerveinkre hatni. A ténylegességet viszont a formák adják, ezért megismerésünk igazi tárgya, az értelmünk által felfogható, az intelligibile mindig valamilyen forma. Az anyagi világ ténylegességét, megismerhetőségét tehát a formák adják. Ezek a formák nemcsak az anyagot, az anyagi világ lehetőségeit formálják meg, hanem az anyagi világ megismerésének folyamatában értelmünk formáivá is válnak, mintegy értelmünket formálják meg ismeretként. Így ugyanaz a forma egyrészt a tapasztalati világban létező, anyagot, anyagi lehetőséget megformáló forma, másrészt azonban az értelmünkben meglévő lehetőséget (ezt lehetőség szerinti értelemnek, intellectus possibilis-nek nevezik a skolasztikusok) is megformáló forma. A kétfajta létezés alapvetően különbözik egymástól, az egyik a forma anyagban való, anyagot megformáló létezése, a másik létezés az a szellemi létezés, amelyben az ismeret az értelem egy minőségeként, állapotaként létezik. Az ismeret nem a külső világban megformált valaminek az értelembe történő átvitele által keletkezik, hanem ez az úgynevezett cselekvő értelem, intellectus agens tevékenységének az eredménye. Az intellectus agens az érzéki megismerés adataiból kiemeli a formát és ezt az intellectus possibilis (egy minőségének) a formájává teszi. A szó legáltalánosabb értelmében ezt a folyamatot nevezhetjük absztrakciónak, elvonásnak. Ez a folyamat a forma eredeti környezetéből történő kiemelését és a szellemi környezetben lévő érthetővé, ismeretté válását eredményezi. Az eredeti környezet az a tapasztalható világ, amelyben a dolgok, a történések mindig egyediek, adott helyen és időben vannak. Szellemi ismereteink ugyanakkor bizonyos állandóságról, bizonyos időtől és helytől független érvényességről tanúskodnak. Ez azonban nem azt jelenti, hogy szellemi ismereteink a megértés valamilyen független világát alkotják. Ezek mindig valamilyen közvetlen vagy közvetett vonatkozásban vannak azzal a világgal, ahonnan származnak. Ez világ pedig a konkrét tapasztalható dolgok világa. Ezt a világot szellemi természetű ismereteink által értjük meg.
A következő bejegyzésben az absztrakció fajtáiról, folyamatáról lesz szó. A matematikai ismeretekhez az absztrakció egyik fajtája vezet el.